Algèbre linéaire Exemples

$7 x^{2} + 3 = 8 x$

Étape 1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$7 x^{2} + 3 - 8 x = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 7$ , $b = - 8$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 3)}}{2 \cdot 7}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 28$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 84}}{2 \cdot 7}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $84$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 7}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (20)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Étape 4.1.7

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 7}$

Étape 4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 7}$

Étape 4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 7}$

Étape 4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 7}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$

Étape 4.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$ .

$x = \frac{4 \pm i \sqrt{5}}{7}$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 28$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 84}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $84$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (20)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 7}$

Étape 5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 7}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$ .

$x = \frac{4 \pm i \sqrt{5}}{7}$

Étape 5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{4 + i \sqrt{5}}{7}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 28$ par $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 84}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $84$ de $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (20)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 7}$

Étape 6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 7}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$x = \frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$ .

$x = \frac{4 \pm i \sqrt{5}}{7}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{4 - i \sqrt{5}}{7}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{4 + i \sqrt{5}}{7}, \frac{4 - i \sqrt{5}}{7}$

Étape 8

Le domaine est l’ensemble de toutes les valeurs $x$ valides.

${x | x = \frac{4 + i \sqrt{5}}{7}, \frac{4 - i \sqrt{5}}{7}}$

Étape 9